le volume

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Le volume

Pour d'autres utilisations , voir Volume (désambiguïsation) .

Une tasse à mesurer peut être utilisée pour mesurer des volumes de liquides. Cette tasse mesure le volume en unités de tasses , d'onces fluides et demillilitres .

Le volume est la quantité d' espace tridimensionnel entouré par une surface fermée , par exemple, l'espace ou la matière (solide , liquide , gazeux ou plasma ) ou occuper ou contenir. [1] Le volume est souvent quantifié numériquement à l'aide de l' unité dérivée du SI , le mètre cube . Le volume d'un conteneur est généralement compris comme étant la capacité du récipient, c'est-à-dire la quantité de fluide (gaz ou liquide) que le récipient pourrait contenir, plutôt que la quantité d'espace que le récipient lui-même déplace.

Les formes mathématiques tridimensionnelles sont également attribuées à des volumes. Les volumes de certaines formes simples, telles que les formes régulières, droites et circulaires, peuvent être facilement calculés à l'aide de formulesarithmétiques . Les volumes d'une forme compliquée peuvent être calculés par calcul intégral si une formule existe pour la limite de la forme. Lorsqu'une variance de forme et de volume se produit, telles que celles qui existent entre différents êtres humains, celles-ci peuvent être calculées à l'aide de techniques tridimensionnelles telles que l'indice de volume corporel . Les figures unidimensionnelles (telles que les lignes ) et les formes bidimensionnelles (comme lescarrés ) reçoivent un volume zéro dans l'espace tridimensionnel.

Le volume d'un solide (forme régulière ou irrégulière) peut être déterminé par déplacement de fluide . Le déplacement du liquide peut également être utilisé pour déterminer le volume d'un gaz. Le volume combiné de deux substances est généralement supérieur au volume d'une des substances. Cependant, parfois une substance se dissout dans l'autre et le volume combiné n'est pas additif . [2]

Dans la géométrie différentielle , le volume est exprimé au moyen de la forme de volume , et est un important global Riemann invariant . Enthermodynamique , le volume est unparamètre fondamental , et est une variable conjuguée à la pression .

Unités d'édition

Mesures de volume du travail de référence de New Student de 1914 . 
Conversion approximative en millilitres: [3]ImpérialLiquide américainUS secGill142 mL118 mL138 mLPinte568 ml473 mL551 mLLitre1137 mL946 mL1101 mLGallon4546 mL3785 mL4405 mL

Toute unité de longueur donne une unité de volume correspondante: le volume d'un cubedont les côtés ont la longueur donnée. Par exemple, un centimètre cube (cm 3 ) est le volume d'un cube dont les côtés ont uncentimètre (1 cm) de longueur.

Dans le Système international d'unités (SI), l'unité de volume standard est le mètre cube (m 3 ). Le système métrique comprendégalement le litre (L) comme unité de volume, où un litre est le volume d'un cube de 10 centimètres. Ainsi

1 litre = (10 cm) 3 = 1000 centimètres cubes = 0,001 mètres cubes,

alors

1 mètre cube = 1000 litres.

De petites quantités de liquide sont souvent mesurées en millilitres , où

1 millilitre = 0,001 litre = 1 centimètre cube.

Diverses autres unités traditionnelles volume sont également utilisés, y compris le pouce cube , le pied cube , le mile cube , la cuillère àcafé , la cuillère , l' once liquide , le dram fluide, le gill , la pinte , le quart , le gallon , Le minim , le baril , le cordon , le peck , le boisseau et latête de porc .                                      

Termes connexesModifier

La capacité est définie par le Oxford English Dictionary comme «la mesure appliquée au contenu d'un navire, et à des liquides, des grains ou similaires , qui prennent la forme de ce qui les retient». [4] (Le mot capacité a d'autres significations non liées, comme dans par exemple la gestion de la capacité .) La capacité n'est pas identique en termes de volume, bien que étroitement liée; La capacité d'un conteneur est toujours le volume dans son intérieur. Les unités de capacité sont lelitre SI et ses unités dérivées, et les unités impériales telles que les branchies , la pinte , le gallon et d'autres. Les unités de volume sont les cubes d' unités de longueur . En SI, les unités de volume et de capacité sont étroitement liées: un litre est exactement 1 décimètre cube, la capacité d'un cube avec un côté de 10 cm. Dans d'autres systèmes, la conversion n'est pas banale; La capacité du réservoir de carburant d'un véhicule est rarement indiquée en pieds cubes, par exemple, mais en gallons (un gallon remplit un volume de 0.1605 pi3).

La densité d'un objet est définie comme le rapport de la masse au volume. [5] L'inverse de la densité est un volume spécifique qui est défini comme le volume divisé par la masse.Le volume spécifique est un concept important dans la thermodynamique où levolume d'un fluide de travail est souvent un paramètre important d'un système étudié.

Le débit volumétrique dans la dynamique desfluides est le volume de fluide qui traverse une surface donnée par unité de temps (par exemple, des mètres cubes par seconde [m 3-1 ]).

Volume en calculModifier

Dans le calcul , une branche demathématiques , le volume d'une région D en3 est donnée par une intégrale triple de la constante fonction f(x,y,z)=1 Et est généralement écrit comme suit:

\iiint \limits _{D}1\,dx\,dy\,dz.

L' intégrale du volume dans les coordonnées cylindriques est

\iiint \limits _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,

Et l' intégrale de volume dans lescoordonnées sphériques (en utilisant la convention pour les angles avec\theta  Comme l'azimut et \phi Mesuré à partir de l'axe polaire (voir plus sur les conventions )) a la forme

\iiint \limits _{D}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .                                  

Ratios de volume pour un cône, une sphère et un cylindre du même rayon et de la hauteurÉditer

Un cône, une sphère et un cylindre de rayon r et une hauteur h

Les formules ci-dessus peuvent être utilisées pour montrer que les volumes d'un cône , d'une sphère et d'un cylindre du même rayon et de la même hauteur sont dans le rapport 1: 2: 3 , comme suit.

Laissez le rayon être r et la hauteur soit h (ce qui est 2 r pour la sphère), alors le volume de cône est

{\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}h={\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 1,

Le volume de la sphère est

{\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 2,

Tandis que le volume du cylindre est

\pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 3.

La découverte du rapport 2: 3 des volumes de la sphère et du cylindre est attribuée àArchimède . [7]

Dérivés de la formule de volumeModifier

SphereEdit

Le volume d'une sphère est solidaire d'un nombre infini de infinitésimales circulaires des disques d'épaisseur dx . Le calcul du volume d'une sphère avec le centre 0 et le rayon r est le suivant.

La surface du disque circulaire est \pi r^{2}.

Le rayon des disques circulaires, défini de sorte que l'axe des x coupe perpendiculairement à travers eux, est

y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

ou

z={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

Où y ou z peuvent être pris pour représenter le rayon d'un disque à une valeur x particulière.

En utilisant y comme rayon du disque, le volume de la sphère peut être calculé comme \int _{-r}^{r}\pi y^{2}\,dx=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})\,dx.

À présent \int _{-r}^{r}\pi r^{2}\,dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}\,dx=\pi (r^{3}+r^{3})-{\frac {\pi }{3}}(r^{3}+r^{3})=2\pi r^{3}-{\frac {2\pi r^{3}}{3}}.

Combinaison des rendements V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

Cette formule peut être obtenue plus rapidement en utilisant la formule pour lasurface de la sphère , qui est4\pi r^{2}. Le volume de la sphère se compose de couches de coquilles sphériques infinitesimalement minces, et le volume de la sphère est égal à

{\displaystyle \int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,dr} = {\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

ConeEdit

Le cône est un type de forme pyramidale.L'équation fondamentale pour les pyramides, une fois par fois l'altitude des temps de base, s'applique aussi aux cônes.

Cependant, en utilisant le calcul, le volume d'un cône est solidaire d'un nombre infini de minces circulaires infinitésimale disquesd'épaisseur dx . Le calcul du volume d'un cône de hauteur h , dont la base est centrée à (0,0,0) avec le rayon r , est le suivant.

Le rayon de chaque disque circulaire est r si x= 0 et 0 si x = h , et varie linéairement entre-c'est-à-dire,r{\frac {(h-x)}{h}}.

La surface du disque circulaire est alors \pi \left(r{\frac {(h-x)}{h}}\right)^{2}=\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}.

Le volume du cône peut alors être calculé comme \int _{0}^{h}\pi r^{2}{\frac {(h-x)^{2}}{h^{2}}}dx,

Et après l'extraction des constantes: {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}(h-x)^{2}dx

L'intégration nous donne {\frac {\pi r^{2}}{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.

Volume dans la géométrie différentielleModifier

Dans la géométrie différentielle , une branche des mathématiques , une forme de volumesur un collecteur différentiable est une forme différentielle de degré supérieur (c'est-à-dire dont le degré est égal à la dimension du collecteur) qui n'est nulle nulle à zéro. Un collecteur a une forme de volume si et seulement s'il est orientable. Un collecteur orientable présente infiniment de nombreuses formes de volume, car la multiplication d'une forme de volume par une fonction de disparition donne une autre forme de volume.Sur les collecteurs non orientables, on peut plutôt définir la notion plus faible d'unedensité . L'intégration de la forme de volume donne le volume du collecteur selon cette forme.

De préférence orienté de Riemann (oupseudo-riemannien ) collecteur a une forme de volume naturel (ou volume de pseudo).Dans les coordonnées locales , il peut être exprimé comme

\omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}

où le dx^{i}sont les 1-formes qui fournissent une base orientée pour le faisceau de cotangente du n collecteur dimensionnel. Ici,|g|Est la valeur absolue du déterminant de la représentation matricielle du tenseur métriquesur le collecteur .

Volume en thermodynamiqueModifier

En thermodynamique , le volume d'unsystème est un paramètre important et important pour décrire son état thermodynamique . Le volume spécifique , une propriété intensive , est le volume du système par unité de masse. Le volume est une fonction de l'état et est interdépendant avec d'autres propriétés thermodynamiques telles que la pression et la température . Par exemple, le volume est lié à la pression et à latempérature d'un gaz idéal par la loi du gaz idéale .

Formules de volumeModifier

FormeFormule de volumeVariables
cubea^{3}\;A = longueur de tout côté (ou bord)
Cylindre\pi r^{2}h\;R = rayon de face circulaire, h = hauteur
Prisme

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